Chapter:3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (Class-10,M)

Exercise:3.1

प्रश्न 1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल
माना आफ़ताब और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः x व y वर्ष है।
7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = (x – 7) वर्ष
7 वर्ष पूर्व उसकी पुत्री की आयु = (y – 7) वर्ष
आफ़ताब पुत्री से कहता है कि 7 वर्ष पूर्व वह पुत्री की आयु का 7 गुना था।
अर्थात् (x – 7) = 7 (y – 7)
⇒ x – 7 = 7y – 49
⇒ x – 7y – 7 + 49 = 0
⇒ x – 7y + 42 = 0
अब से 3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = (x + 3) वर्ष
अब से 3 वर्ष बाद उसकी पुत्री की आयु = (y + 3) वर्ष
आफ़ताब पुनः पुत्री से कहता है कि अब से 3 वर्ष बाद वह पुत्री की आयु का तिगुना होगा।
अर्थात् (x + 3) = 3(y + 3)
⇒ x + 3 = 3y + 9
⇒ x – 3y = +9 – 3
⇒ x – 3y = 6
कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
x – 7y + 42 = 0 ……… (1)
x – 3y = 6 ……. (2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण x – 7y + 42 = 0
2. माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – 7y + 42 = 0 में रखने पर,
0 – 7y + 42 = 0
⇒ 7y = 42
⇒ y = 6
3. तब समीकरण x – 7y + 42 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, 6) है।
4. पुनः माना x = 7, तब x का मान समीकरण x – 7y + 42 = 0 में रखने पर,
7 – 7y + 42 = 0
⇒ -7y = 49
⇒ y = 7
5. तब समीकरण x – 7y + 42 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (7, 7) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (0, 6) तथा B = (7, 7) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का अन्य (दूसरा) समीकरण x – 3y = 6
8. माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – 3y = 6 में रखने पर,
0 – 3y = 6
⇒ y = -2
9. तब समीकरण x – 3y = 6 के आलेख पर एक बिन्दु C = (0, -2) है।
10. पुनः माना x = 6, तब x का मान समीकरण x – 3y = 6 में रखने पर,
6 – 3y = 6
⇒ -3y = 0
⇒ y = 0
11. तव समीकरण x – 3y = 6 के आलेख पर एक बिन्दु D = (6, 0) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (0, -2) तथा D = (6, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए, जो बिन्दु P(42, 12) पर प्रतिच्छेद करती है।

13. ऋजु रेखाएँ AB तथा CD दिए गए कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय निरूपण है।

प्रश्न 2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3900 में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदीं। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदें ₹ 1300 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल
माना एक बल्ले का मूल्य ₹ x तथा एक गेंद का मूल्य ₹ y है।
3 बल्लों और 6 गेंदों का मूल्य = ₹ 3900
₹ 3x + ₹ 6y = ₹ 3900
3x + 6y = 3900
इसी प्रकार, एक बल्ले का मूल्य +2 गेंदों का मूल्य = ₹ 1300
₹ x + ₹ 2y = ₹ 1300
x + 2y = 1300
अत: दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म :
3x + 6y = ₹ 3900 ……. (1)
x + 2y = ₹ 1300 ……. (2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 3x + 6y = 3900
2. माना x = 100, तब x का मान समीकरण 3x + 6y = 3900 में रखने पर,
(3 × 100) + 6y = 3900
⇒ 300 + 6y = 3900
⇒ 6y = 3600
⇒ y = 600
3. तब समीकरण 3x + 6y = 3900 के आलेख पर एक बिन्दु A = (100, 600) है।
4. पुन: माना x = 300, तब x का मान समीकरण 3x + 6y = 3900 में रखने पर,
(3 × 300) + 6y = 3900
⇒ 900 + 6y = 3900
⇒ 6y – 3900 = -900
⇒ 6y = 3000
⇒ y = 500
5. तब समीकरण 3x + 6y = 3900 के आलेख पर एक बिन्दु B = (300, 500) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (100, 600) तथा B = (300, 500) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरे समीकरण x + 2y = 1300

8. माना x = 500, तब x का मान समीकरण x – 2y = 1300 में रखने पर,
500 + 2y = 1300
⇒ 2y = 1300 – 500
⇒ 2y = 800
⇒ y = 400
9. तब समीकरण x + 2y = 1300 के आलेख पर एक बिन्दु C = (500, 400) है।
10. पुन: माना x = -100, तब x का मान समीकरण x + 2y = 1300 में रखने पर,
-100 + 2y = 1300
⇒ 2y = 1300 + 100
⇒ 2y = 1400
⇒ y = 700
11. तब समीकरण x + 2y = 1300 के आलेख पर एक बिन्दु D = (-100, 700) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (500, 400) तथा D = (-100, 700) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाएँ AB तथा CD जो कि सम्पाती हैं, दिए गए कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप हैं।
चित्र से स्पष्ट है कि दोनों कथनों के आलेख ऋजु रेखाएँ AB तथा CD एक ही रेखा है। अतः रेखा AB एवं CD सम्पाती हैं।

प्रश्न 3. 2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल
माना एक दिन 1 किग्रा सेब का मूल्य ₹ x तथा 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹ y है।
तब, 2 किग्रा सेब का मूल्य +1 किग्रा अंगूर का मूल्य = ₹ 160
2x + y = 160
1 महीने बाद, 4 किग्रा सेब का मूल्य +2 किग्रा अंगूर का मूल्य = ₹ 300
4x + 2y = 300
अत: दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
2x + y = 160 ……. (1)
4x + 2y = 300 ……. (2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 2x + y = 160
2. माना x = 50, तब x का मान समीकरण 2x + y = 160 में रखने पर,
2 × 50 + y = 160
⇒ 100 + y = 160
⇒ y = 160 – 100
⇒ y = 60
3. तब समीकरण 2x + y = 160 के आलेख पर एक बिन्दु A = (50, 60) है।
4. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 2x + y = 160 में रखने पर,
2 × 0 + y = 160
⇒ 0 + y = 160
⇒ y = 160
5. तब समीकरण 2x + y = 160 के आलेख पर एक बिन्दु B = (0, 160) है।
(6) ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (50, 60) तथा B = (0, 160) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण 4x + 2y = 300
8. माना x = 75, तब x का मान समीकरण 4x + 2y = 300 में रखने पर,
4 × 75 + 2y = 300
⇒ 300 + 2y = 300
⇒ 2y = 300 – 300 = 0
⇒ y = 0
9. तब समीकरण 4x + 2y = 300 के आलेख पर एक बिन्दु C = (75, 0) है।

10. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 4x + 2y = 300 में रखने पर,
4 × 0 + 2y = 300
⇒ 0 + 2y = 300
⇒ 2y = 300
⇒ y = 150
11. तब समीकरण 4x + 2y = 300 के आलेख पर एक बिन्दु D = (0, 150) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (75, 0) तथा D = (0, 150) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
ऋजु रेखाएँ AB तथा CD दिए गए कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप हैं।

Exercise:3.2

प्रश्न 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए-
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेन्सिलों तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेन्सिलों तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेन्सिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना लड़कियों की संख्या x तथा लड़कों की संख्या y है।
कुल संख्या = (x + y)
परन्तु प्रश्नानुसार कुल विद्यार्थियों की संख्या 10 है।
x + y = 10
लड़कियों की संख्या x, लड़कों की संख्या y से 4 अधिक है।
x = y + 4 ⇒ x – y = 4
अतः दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
x + y = 10 …….. (1)
x – y = 4 …….. (2)
ज्यामितीय निरूपण:
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण x + y = 10
2. माना x = 3, तब x का मान समीकरण x + y = 10 में रखने पर,
3 + y = 10 ⇒ y = 10 – 3 ⇒ y = 7
3. तब समीकरण x + y = 10 के आलेख पर एक बिन्दु A = (3, 7) है।
4. पुन: माना x = 8, तब x का मान समीकरण x + y = 10 में रखने पर,
8 + y = 10 ⇒ y = 10 – 8 ⇒ y = 2
5. तब समीकरण x + y = 10 के आलेख पर एक बिन्दु B = (8, 2) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (3, 7) तथा B(8, 2) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण x – y = 4
8. माना x = 2, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
2 – y = 4 ⇒ -y = 4 – 2 ⇒ y = -2
9. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु C = (2, -2) है।
10. पुनः माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
4 – y = 4 ⇒ -y = 4 – 4 ⇒ -y = 0 ⇒ y = 0
11. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु D = (4, 0) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (2, -2) तथा D = (4, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, K) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक P(7, 3) आलेख से ज्ञात कीजिए।
14. दिए हुए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 7, y = 3 है।
अत: लड़कियों की संख्या = 7 तथा लड़कों की संख्या = 3

(ii) मान लीजिए कि एक पेन्सिल का मूल्य ₹ x है तथा 1 कलम का मूल्य ₹ y है।
5 पेन्सिलों और 7 कलमों का मूल्य = ₹ 50
5x + 7y = 50
इसी प्रकार, 7 पेन्सिलों और 5 कलमों का मूल्य = ₹ 46
7x + 5y = 46
अत: दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
5x + 7y = 50 ….. (1)
7x + 5y = 46 …… (2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 5x + 7y = 50
2. माना x = 10, तब x का मान समीकरण 5x + 7y = 50 में रखने पर,
5 × 10 + 7y = 50
⇒ 50 + 7y = 50
⇒ 7y = 50 – 50
⇒ 7y = 0
⇒ y = 0
3. तब समीकरण 5x + 7y = 50 के आलेख पर एक बिन्दु A = (10, 0) है।
4. पुन: माना x = -4, तब x का मान समीकरण 5x + 7y = 50 में रखने पर,
(5 × -4) + 7y = 50
⇒ -20 + 7y = 50
⇒ 7y = 50 + 20
⇒ 7y = 70
⇒ y = 10
5. तब समीकरण 5x + 7y = 50 के आलेख पर एक बिन्दु B = (-4, 10) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (10, 0) तथा B = (-4, 10) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण 7x + 5y = 46
8. माना x = 8, तब x का मान समीकरण 7x + 5y = 46 में रखने पर,
7 × 8 + 5y = 46
⇒ 56 + 5y = 46
⇒ 5y = -10
⇒ y = -2
9. तब समीकरण 7x + 5y = 46 के आलेख पर एक बिन्दु C = (8, -2) है।
10. पुनः माना x = -2, तब x का मान समीकरण 7x + 5y = 46 में रखने पर,
(7 × -2) + 5y = 46
⇒ -14 + 5y = 46
⇒ 5y = 46 + 14
⇒ 5y = 60
⇒ y = 12
11. तब समीकरण 7x + 5y = 46 के आलेख पर एक बिन्दु D = (-2, 12) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (8, -2) तथा D = (-2, 12) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए। P(3, 5)

14. दिए हुए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 3, y = 5 है।
अतः एक पेन्सिल का मूल्य ₹ 3 और एक कलम का मूल्य ₹ 5 है।

प्रश्न 2.

(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
5x – 4y + 8 = 0 ……..(1)
7x + 6y – 9 = 0 ……..(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना व्यापक रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करेगा और समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
अतः दिया गया समीकरणों का युग्म संगत है।

प्रश्न 4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन-से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0 ……. (1)
2x + 2y = 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0 ……(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0 …(1)
3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y – 16 = 0 …… (2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = -8
a₂ = 3, b₂ = -3, c₂ = -16

अतः दिया गया समीकरण युग्म असंगत है।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + y – 6 = 0 ….(1)
4x – 2y – 4 = 0 …..(2)
उक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म संगत है और उसका एक अद्वितीय हल होगा।
क्रिया-विधि :
1. दिए हुए समीकरण युग्म का पहला समीकरण 2x + y – 6 = 0
2. माना x = 3, तब x का मान समीकरण 2x + y – 6 = 0 में रखने पर,
2 × 3 + y – 6 = 0
⇒ 6 + y – 6 = 0
⇒ y = 0
3. तब समीकरण 2x + y – 6 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (3, 0) है।
4. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 2x + y – 6 = 0 में रखने पर,
2 × 0 + y – 6 = 0
⇒ 0 + y – 6 = 0
⇒ y = 6
5. तब समीकरण 2x + y – 6 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (0, 6) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A = (3, 0) तथा B = (0, 6) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण 4x – 2y – 4 = 0
8. माना x = 1, तब x का मान समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 में रखने पर,
4 × 1 – 2y – 4 = 0
⇒ 4 – 2y – 4 = 0
⇒ 0 – 2y = 0
⇒ y = 0
9. तब समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C = (1, 0) है।
10. पुन: माना x = 0, तब x का मान समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 में रखने पर,
4 × 0 – 2y – 4 = 0
⇒ 0 – 2y – 4 = 0
⇒ -2y = 4
⇒ y = -2
11. तब समीकरण 4x – 2y – 4 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D = (0, -2) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (1, 0) तथा D = (0, -2) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।

14. दिए हुए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 2, y = 2 है।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x – 2y – 2 = 0 …… (1)
4x – 4y – 5 = 0 ……(2)
समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: दिया गया समीकरणों का युग्म असंगत है।

प्रश्न 5. एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना आयताकार बाग की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है।
प्रश्नानुसार, लम्बाई x, चौड़ाई y से 4 मीटर अधिक है।
x = y + 4 ⇒ x – y = 4
आयताकार बाग की परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई) = 2(x + y) मीटर

0 – y = 4 ⇒ y = -4
3. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, -4) है।
4. पुनः माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में रखने पर,
4 – y = 4
⇒ -y = 4 – 4
⇒ -y = 0
⇒ y = 0
5. तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु B = (4, 0) है।
6. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (0, -4) तथा B (4, 0) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
7. दिए हुए समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण x + y = 36
8. माना x = 10, तब x का मान समीकरण x + y = 36 में रखने पर,
10 + y = 36
⇒ y = 36 – 10
⇒ y = 26
9. तब समीकरण x + y = 36 के आलेख पर एक बिन्दु C = (10, 26) है।
10. पुनः माना x = 30, तब x का मान समीकरण x + y = 36 में रखने पर,
30 + y = 36
⇒ y = 36 – 30
⇒ y = 6
11. तब समीकरण x + y = 36 के आलेख पर एक बिन्दु D = (30, 6) है।
12. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (10, 26) तथा D = (30, 6) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
13. ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख. से ज्ञात कीजिए। P(20, 16)
14. दिए हुए समीकरण युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 20, y = 16 है।
अत: आयताकार बाग की लम्बाई 20 मीटर तथा चौड़ाई 16 मीटर है।

प्रश्न 6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल
दिए गए रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 की तुलना समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 से करने पर,
तब, a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -8
माना अभीष्ट रैखिक समीकरण a₂x + b₂y + c₂ = 0 है।
(i) जब समीकरण युग्म, प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो

अत: अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – nk = 0 जबकि n ≠ -8 जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो

⇒ a₂ = 2k, b₂ = 3k और c₂ = -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky – 8k = 0 जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।

प्रश्न 7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। X-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x – y + 1 = 0 ……. (1)
3x + 2y – 12 = 0 …….. (2)
समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख के लिए
1. माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
0 – y + 1 = 0 ⇒ y = 1
2. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, 1) है।
3. पुन: माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y + 1 = 0 में रखने पर,
4 – y + 1 = 0
⇒ 5 – y = 0
⇒ y = 5
4. तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (4, 5) है।
5. ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (0, 1) तथा B(4, 5) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।

समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 के आलेख के लिए
1. माना x = 0, तब x का मान समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 में रखने पर,
3 × 0 + 2y – 12 = 0
⇒ 0 + 2y – 12 = 0
⇒ 2y – 12 = 0
⇒ 2y = 12
⇒ y = 6
2. तब समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C = (0, 6) है।
3. पुनः माना x = 6, तब x का मान समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 में रखने पर,
3 × 6 + 2y – 12 = 0
⇒ 18 + 2y – 12 = 0
⇒ 6 + 2y = 0
⇒ 2y = -6
⇒ y = -3
4. तब समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D = (6, -3) है।
5. ग्राफ पेपर पर बिन्दु C = (0, 6) तथा D = (6, -3) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए।
ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए। P (2, 3)
X-अक्ष से रेखा x – y + 1 = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q = (-1, 0)
X-अक्ष से रेखा 3x + 2y – 12 = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु R = (4, 0)
(ग्राफ से पढ़कर)

दी गई रेखाओं के समीकरणों और X-अक्ष के प्रतिच्छेदन से ∆PQR बनता है।
∆PQR के निर्देशांक क्रमशः P = (2, 3), Q = (-1, 0) तथा R = (4, 0) हैं।

Exercise:3.3

प्रश्न 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए-
(i) x + y = 14
x – y = 4
(ii) s – t = 3

(iii) 3x – y = 3
9x – 3 y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
(v) √2x + √3y = 0
√3x – √8y = 0

हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 14 …… (1)
x – y = 4 …….. (2)
समीकरण (1) से, x + y = 14
⇒ x = (14 – y) ….. (3)
समीकरण (3) से x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
(14 – y) – y = 4
⇒ 14 – y – y = 4
⇒ -2y = 4 – 14
⇒ -2y = -10
⇒ y = 5
तब, समीकरण (1) में y = 5 रखने पर,
x + 5 = 14
⇒ x = 14 – 5 = 9
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 9 तथा y = 5

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म :
3x – y = 3 …….. (1)
9x – 3y = 9 ……… (2)
समीकरण (1) से, 3x – y = 3
⇒ 3x – 3 = y
⇒ y = 3x – 3
अब, समीकरण (2) में y = 3 x – 3 रखने पर,
9x – 3(3x – 3) = 9
⇒ 9x – 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9
जो कि एक सत्य कथन है। तब, चर x या y का कोई अद्वितीय मान नहीं होगा।
अत: रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
रैखिक समीकरण युग्म के प्रत्येक में एक स्थान तक ही दशमलव अंक हैं। अत: दशमलव को हटा सकते हैं।
तब दिया समीकरण युग्म निम्न युग्म के तुल्य होगा
2x + 3y = 13 …… (1)
4x + 5y = 23 …….. (2)
समीकरण (1) से, 2x + 3y = 13
⇒ 2x = 13 – 3y

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल : x = 0 तथा y = 0

अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 3

प्रश्न 2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
2x + 3y = 11 …… (1)
2x – 4y = -24 …… (2)
समीकरण (2) से,
2x – 4y = -24
⇒ 2x = 4y – 24

प्रश्न 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए-
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो सम्पूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?

(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?
हल
(i) माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है।
एक संख्या = 3 × दूसरी संख्या
x = 3y ….(1)
यहाँ x, y से बड़ा है संख्याओं का अन्तर 26 है।
x – y = 26 ……… (2)
समीकरण (2) में x = 3y रखने पर,
3y – y = 26
⇒ 2y = 26
⇒ y = 13
समीकरण (1) में y = 13 रखने पर,
x = 3 × 13 = 39
⇒ x = 39
अत: अभीष्ट संख्याएँ = 39 व 13

(ii) माना बड़ा कोण x° तथा छोटा कोण y° है।
कोण x° व y° सम्पूरक हैं अर्थात् इनका योग 180° है।
x + y = 180
बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है।
x = y + 18
तब, रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 180 ……(1)
x = y + 18 …… (2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(y + 18) + y = 180
⇒ 2y + 18 = 180
⇒ 2y = 180 – 18 = 162
⇒ y = 81
समीकरण (2) में y का मान रखने पर,
x = 81 + 18 = 99
अत: बड़ा कोण 99° तथा छोटा कोण 81 है।

(iii) माना एक बल्ले का मूल्य ₹ x तथा एक गेंद का मूल्य ₹ y है।
1 बल्ले का मूल्य ₹ x है
7 बल्लों का मूल्य = ₹ 7x
1 गेंद का मूल्य ₹ y है।
6 गेंदों का मूल्य = ₹ 6y
7 बल्लों और 6 गेंदों का मूल्य = ₹ (7x + 6y)
प्रश्नानुसार, इनका मूल्य ₹ 3800 है।
7x + 6y = 3800 ……(1)
1 बल्ले का मूल्य ₹ x है
3 बल्लों का मूल्य = ₹ 3x
1 गेंद का मूल्य ₹ y है।
5 गेंदों का मूल्य = ₹ 5y
3 बल्लों और 5 गेंदों का मूल्य = ₹ (3x + 5y)
प्रश्नानुसार इनका मूल्य ₹ 1750 है।
3x + 5y = 1750 ……. (2)
⇒ 5y = 1750 – 3x

y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,

अत: एक बल्ले का मूल्य ₹ 500 तथा 1 गेंद का मूल्य ₹ 50 है।

(iv) माना टैक्सी का नियत भाड़ा ₹ x है और प्रति किमी दूरी का भाड़ा ₹ y है।
तब, 10 किमी दूरी के लिए कुल भाड़ा = नियत भाड़ा + 10 किमी का भाड़ा
= x + 10 × y
= (x + 10y)
प्रश्नानुसार, यह भाड़ा ₹ 105 है
x + 10y = 105 …….. (1)
इसी प्रकार, 15 किमी दूरी के लिए कुल भाड़ा
= नियत भाड़ा + 15 किमी का भाड़ा
= ₹ x + ₹ 15y
= ₹(x + 15y)
प्रश्नानुसार यह भाड़ा ₹ 155 है।
x + 15y = 155 ……. (2)
समीकरण (1) से, x = 105 – 10y
x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर,
105 – 10y + 15y = 155
⇒ -10 y + 15y = 155 – 105
⇒ 5y = 50
⇒ y = 10
तब, y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x + 15 × 10 = 155
⇒ x + 150 = 155
⇒ x = 155 – 150 = 5
अतः टैक्सी का नियत भाड़ा ₹ 5 है और प्रति किमी दूरी का भाड़ा ₹ 10 है
तथा 25 किमी यात्रा का भाड़ा = 5 नियत भाड़ा + (25 × 10) यात्रा भाड़ा
= ₹ (5 + 250)
= ₹ 255

(v) माना भिन्न का अंश x तथा हर y है।
भिन्न = x/y

(vi) माना जैकब और उसके पुत्र की वर्तमान आयु क्रमश: x व y वर्ष है।
5 वर्ष बाद जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष
तथा 5 वर्ष बाद पुत्र की आयु = (y + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, 5 वर्ष के बाद जैकब की आयु = 3 × उसके पुत्र की आयु
x + 5 = 3 × (y + 5)
⇒ x + 5 = 3y + 15
⇒ x = 3y + 15 – 5
⇒ x = 3y + 10 …….. (1)
5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु = (x – 5) वर्ष
तथा 5 वर्ष पूर्व उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, 5 वर्ष पहले जैकब की आयु = 7 × 5 वर्ष पहले उसके पुत्र की आयु
x – 5 = 7 × (y – 5)
⇒ x – 5 = 7y – 35
⇒ x – 7y = +5 – 35
⇒ x – 7y = -30 ….(2)
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
(3y + 10) – 7y = -30
⇒ 3y + 10 – 7y = -30
⇒ 3y – 7y = -30 – 10
⇒ -4y = -40
⇒ y = 10
समीकरण (1) में y का मान रखने पर,
x = (3 × 10) + 10 = 30 + 10 = 40
दिए गए समीकरण युग्म का हल : x = 40, y = 10

Exercise:3.4

प्रश्न 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?

.

 

 

हल
(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 5 ……. (1)
2x – 3y = 4 …….. (2)
विलोपन विधि : समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
2x + 2y = 10 ……. (3)
समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(2x + 2y) – (2x – 3y) = 10 – 4
2x + 2y – 2x + 3y = 6
5y = 6

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
3x + 4y = 10 ……. (1)
2x – 2y = 2 ……. (2)
विलोपन विधि : समीकरण (1) में 2 से गुणा करने पर,
6x + 8y = 20 …….. (3)
समीकरण (2) में 3 से गुणा करने पर,
6x – 6y = 6 ……… (4)
समीकरण (3) में से समीकरण (4) को घटाने पर,
(6x + 8y) – (6x – 6y) = 20 – 6
⇒ 6x + 8y – 6x + 6y = 14
⇒ 14y = 14
⇒ y = 1
समीकरण (1) में y = 1 रखने पर,
3x + 4(1) = 10
⇒ 3x = 10 – 4 = 6
⇒ x = 2
अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 1
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (2) से,
2x – 2y = 2
⇒ 2x = 2 + 2y
⇒ x = 1 + y
x = 1 + y समीकरण (1) में रखने पर,
3(1 + y) + 4y = 10
3 + 3y + 4y = 10
⇒ 3 + 7y = 10
⇒ 7y = 10 – 3
⇒ 7y = 7
⇒ y = 1
समीकरण (5) में y = 1 रखने पर,
x = 1 + 1 = 2
अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 1
इस प्रश्न को हल करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म
3x – 5y – 4 = 0 ⇒ 3x – 5y = 4 ……. (1)
9x = 2y + 7 ⇒ 9x – 2y = 7 ……. (2)
विलोपन विधि : समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर,
9x – 15y = 12 ……… (3)
समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(9x – 15y) – (9x – 2y) = 12 – 7
⇒ 9x – 15y – 9x + 2y = 5
⇒ -13y = 5

इस प्रश्न को हल करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

विलोपन विधि : समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(3x + 4y) – (3x – y) = -6 – 9
⇒ 3x + 4y – 3x + y = -15
⇒ 5y = -15
⇒ y = -3
समीकरण (1) में y = -3 रखने पर,
3x + 4 × (-3) = -6
⇒ 3x – 12 = -6
⇒ 3x = -6 + 12 = 6
⇒ x = 2
अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = -3
प्रतिस्थापन विधि : समीकरण (2) से,
3x – y = 9
⇒ y = 3x – 9
समीकरण (1) में y = 3x – 9 रखने पर,
3x + 4(3x – 9) = -6
⇒ 3x + 12x – 36 = -6
⇒ 15x – 36 = -6
⇒ 15x = -6 + 36 = 30
⇒ x = 2
समीकरण (2) में x = 2 रखने पर,
y = 3 × 2 – 9
⇒ y = 6 – 9
⇒ y = -3
अत: रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = -3
इस प्रश्न को हल करने के लिए विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है।

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए-
(i) यदि हम अंश में 1जोड़ दें तथा हर में से 1घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 12 हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए?
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।

(ii) माना नूरी की वर्तमान आयु x वर्ष तथा सोनू की वर्तमान आयु y वर्ष है।
5 वर्ष पहले नूरी की आयु = (x – 5) वर्ष
5 वर्ष पहले सोनू की आयु = (y – 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
नूरी की आयु = 3 × सोनू की आयु
x – 5 = 3(y – 5)
⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x = 3y – 15 + 5
⇒ x = 3y – 10 …….. (1)
10 वर्ष पश्चात् नूरी की आयु = (x + 10) वर्ष
10 वर्ष पश्चात् सोनू की आयु = (y + 10) वर्ष
प्रश्नानुसार,
नूरी की आयु = 2 × सोनू की आयु
⇒ x + 10 = 2(y + 10)
⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x = 2y + 20 – 10
⇒ x = 2y + 10 ….. (2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
3y – 10 = 2y + 10
⇒ 3y – 2y = 10 + 10
⇒ y = 20
समीकरण (2) में y = 20 रखने पर,
x = (2 × 20) + 10 = 40 + 10 = 50
अत: नूरी की आयु = 50 वर्ष तथा सोनू की आयु = 20 वर्ष।

(iii) माना संख्या का इकाई का अंक x तथा दहाई का अंक y है।
संख्या = 10y + x
संख्या के अंकों का योग = 9
इकाई का अंक + दहाई का अंक = 9
x + y = 9
मूल संख्या 10y + x है, तब अंकों के पलटने पर प्राप्त संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार,
संख्या का 9 गुना = अंकों के पलटने से प्राप्त संख्या का दो गुना
(10y + x) × 9 = (10x + y) × 2
⇒ 9x + 90y = 20x + 2y
⇒ 90y – 2y = 20x – 9x
⇒ 88y = 11x
⇒ 8y = x (दोनों पक्षों में सार्व 11 का भाग देने पर)
⇒ x = 8y ……. (2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
8y + y = 9 या 9y = 9 या y = 1
तब, समीकरण (2) में, y = 1 रखने पर,
x = 8 × y = 8 × 1 = 8
संख्या 10y + x = (10 × 1) + 8 = 10 + 8 = 18
अतः संख्या = 18

(iv) माना ₹ 50 मूल्य वाले नोटों की संख्या : तथा ₹ 100 मूल्य वाले नोटों की संख्या y थी।
कुल नोटों की संख्या = (x + y)
परन्तु प्रश्नानुसार नोटों की कुल संख्या 25 थी।
x + y = 25 …….. (1)
₹ 50 वाले x नोट थे, उनका मूल्य = ₹ 50x
₹ 100 वाले के नोट थे, उनका मूल्य = ₹ 100y
कुल नोटों का मूल्य = (50x + 100y) = ₹ 50(x + 2y)
प्रश्नानुसार, मीना ने केवल ₹ 2000 बैंक से निकाले।
50(x + 2y) = 2000
⇒ x + 2y = 40 …….. (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(x + 2y) – (x + y) = 40 – 25
⇒ x + 2y – x – y = 15
⇒ y = 15
समीकरण (1) में y = 15 रखने पर,
x + 15 = 25
⇒ x = 10
अतः मीना ने ₹ 50 मूल्य वाले 10 नोट तथा ₹ 100 मूल्य वाले 15 नोट प्राप्त किए।

(v) माना प्रथम तीन दिनों तक के लिए पुस्तकालय का नियत किराया ₹ x है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ₹ y है।
7 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का नियत किराया + 4 अतिरिक्त दिन का किराया
= ₹ x + ₹ 4 × y
= ₹(x + 4y)
परन्तु सरिता ने 7 दिन का किराया ₹ 27 अदा किया।
x + 4y = 27 …….(1)
5 दिनों में एक पुस्तक का किराया = प्रथम 3 दिन का नियत किराया + 2 अतिरिक्त दिन का किराया
= ₹ x + ₹ 2y
= ₹(x + 2y)
परन्तु सूसी ने 5 दिन का किराया ₹ 21 अदा किया।
x + 2y = 21 ……… (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(x + 4y) – (x + 2y) = 27 – 21
⇒ x + 4y – x – 2y = 6
⇒ 2y = 6
⇒ y = 3
समीकरण (2) में y = 3 रखने पर,
x + (2 × 3) = 21
⇒ x + 6 = 21
⇒ x = 21 – 6 = 15
अतः पुस्तकालय की किसी पुस्तक का प्रथम 3 दिन तक का नियत किराया ₹ 15 है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ₹3 है।

Exercise:3.5

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्रगुणन विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
x – 3y – 3 = 0 …….. (1)
3x – 9y – 2 = 0 ……. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अतः दिए गए समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होगा।

(ii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
2x + y = 5 ⇒ 2x + y – 5 = 0 ……(1)
3x + 2y = 8 ⇒ 3x + 2y – 8 = 0 …….. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
तब वज्रगुणन से,

अत: समीकरणों के युग्म का हल x = 2 तथा y = 1

(iii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
3x – 5y = 20 ⇒ 3x – 5y – 20 = 0 …….. (1)
6x – 10 y = 40 ⇒ 6x – 10y – 40 = 0 ………. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अत: समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
तब वज्रगुणन से,

अत: समीकरणों के युग्म का हल x = 2 तथा y = 1

(iii) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
3x – 5y = 20 ⇒ 3x – 5y – 20 = 0 …….. (1)
6x – 10 y = 40 ⇒ 6x – 10y – 40 = 0 ………. (2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,

अतः समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल प्राप्त होगा।
तब वज्रगुणन से,

अतः दिए गए समीकरणों के युग्म का हल x = 4 तथा y = -1

प्रश्न 2.
(i) a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
हल
(i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
2x + 3y = 7 ⇒ 2x + 3y – 7 = 0 …….(1)
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
⇒ (a – b) x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0 ……..(2)
उपर्युक्त समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7
a₂ = (a – b), b₂ = (a + b), c₂ = -(3a + b – 2)
समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे यदि

प्रश्न 3.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्रगुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
हल
दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
8x + 5y = 9 …….(1)
3x + 2y = 4 ……..(2)
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (2) से,
3x + 2y = 4
⇒ 2y = 4 – 3x

अब, समीकरण (1) में x = -2 रखने पर,
8(-2) + 5y = 9
⇒ -16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ 5y = 25
⇒ y = 5
अत: समीकरणों के युग्म का हल x = -2 तथा y = 5
वज्रगुणन विधि : दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
8x + 5y – 9 = 0 ……… (1)
3x + 2y – 4 = 0 ……(2)
दिए गए समीकरण युग्म की तुलना रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 से करने पर,
a₁ = 8, b₁ = 5, c₁ = -9
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = -4
तब वज्रगुणन से,

प्रश्न 4.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए-
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹ 1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए ₹ 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जबकि उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 किमी० की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं। जब वे विपरीत दिशाओं में चलना प्रारम्भ करती हैं तो वे 1 घंटे पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना छात्रावास के भोजनकर्ता छात्र के लिए नियत व्यय ₹ x तथा प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ₹ y है।
20 दिन के भोजन के लिए दिया भुगतान = नियत व्यय + 20 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ x + (20 × ₹ y)
= ₹(x + 20y)
परन्तु विद्यार्थी A को 20 दिन के लिए ₹ 1000 देना पड़ता है।
x + 20y = 1000 ……. (1)
इसी प्रकार,
26 दिन के भोजन के लिए दिया गया भुगतान = नियत व्यय + 26 दिन के भोजन का मूल्य
= ₹ x + (26 × ₹ y)
= (x + 26y)
परन्तु विद्यार्थी B को 26 दिन के लिए ₹ 1180 देना पड़ता है।
x + 26y = 1180 …… (2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(x + 26y) – (x + 20y) = 1180 – 1000
⇒ 6y = 180
⇒ y = 30
तब, समीकरण (1) में y = 30 रखने पर,
x + 20(30) = 1000
⇒ x + 600 = 1000
⇒ x = 1000 – 600 = 400
अतः छात्रावास का नियत व्यय ₹ 400 तथा प्रतिदिन भोजन का व्यय ₹ 30 है।

(iii) माना यश ने टेस्ट पेपर में दिए प्रश्नों में से x प्रश्न सही हल किए तथा y प्रश्न अशुद्ध हल किए।
प्रश्नों की कुल संख्या = (x + y)
सही उत्तरों पर प्राप्त कुल अंक = 3x
और अशुद्ध उत्तरों पर काटे गए कुल अंक = 1y
परिणामी प्राप्तांक = 3x – y परन्तु दिया है कि उसने केवल 40 अंक पाए।
3x – y = 40 …….. (1)
यदि सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तो प्राप्त अंक 4x और अशुद्ध उत्तरों पर 2 अंक काटे जाते तो काटे जाने वाले अंक = 2y
परिणामी अंक = 4x – 2y = 2(2x – y)
परन्तु दिया है कि परिणामी प्राप्तांक 50 होते।
2(2x – y) = 50
⇒ 2x – y = 25 ……… (1)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(3x – y) – (2x – y) = 40 – 25
⇒ x = 15
समीकरण (2) में x का मान रखने पर,
2x – y = 25
⇒ y = 2x – 25
⇒ y = (2 × 15) – 25 = 30 – 25
⇒ y = 5
अतः यश ने 15 प्रश्न सही तथा 5 प्रश्न अशुद्ध हल किए।कुल मिलाकर 20 प्रश्न हल किए।

(iv) माना स्थान A से चलने वाली कार की चाल x किमी प्रति घण्टा और स्थान B से चलने वाली कार की चाल y किमी प्रति घण्टा है।
स्थान A तथा स्थान B के बीच की दूरी = 100 किमी
जब कारें एक ही दिशा में A तथा B से चलती हैं तो 5 घंटे बाद मिलती हैं अर्थात्
5 घंटे में स्थान A से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी स्थान B से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी की अपेक्षा 100 किमी अधिक होगी।
5 घंटे में स्थान A से चली गई दूरी – 5 घंटे में स्थान B से चली गई दूरी = 100 किमी
5x – 5y = 100
⇒ x – y = 20 ……(1)
जब कारें विपरीत दिशाओं में स्थान A तथा B से चलकर मिलेंगी तो उन्हें 1 घंटे में स्थानों के बीच की दूरी के बराबर अर्थात् 100 किमी चलना होगा। तब, स्थान A से चली कार द्वारा 1 घंटे में चली दूरी + स्थान B से चली कार द्वारा
1 घंटे में चली दूरी = 100 किमी
x किमी + y किमी = 100 किमी
x + y = 100 ……. (2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
2x = 120 ⇒ x = 60
समीकरण (2) व समीकरण (1) को घटाने पर,
2y = 80 ⇒ y = 40
अत: कारों की चाल क्रमश: 60 किमी प्रति घण्टा व 40 किमी प्रति घण्टा

(v) माना कि आयत की लम्बाई x मात्रक तथा चौड़ाई y मात्रक है।
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = x × y = x y मात्रक
लम्बाई को 5 मात्रक घटाने पर यह (x – 5) मात्रक रह जाएगी
और चौड़ाई को 3 मात्रक बढ़ाने पर यह (y + 3) मात्रक हो जाएगी।
तब, नए आयत का क्षेत्रफल = (x – 5) × (y + 3) = (xy + 3x – 5y – 15)
मात्रक मूल आयत का क्षेत्रफल = xy मात्रक
नए आयत के क्षेत्रफल में कमी = xy – (xy + 3x – 5y – 15) = -3x + 5y + 15 मात्रक
तब प्रश्नानुसार, -3x + 5y + 15 = 9
⇒ -3x + 5y = 9 – 15 = -6
⇒ 3x – 5y = 6 ……(1)
पुनः लम्बाई को 3 मात्रक बढ़ाने पर यह (x + 3) मात्रक हो जाएगी।
और चौड़ाई को 2 मात्रक बढ़ाने पर यह (y + 2) मात्रक हो जाएगी।
तब, नए आयत का क्षेत्रफल = (x + 3) (y + 2) = (xy + 2x + 3y + 6) मात्रक
और मूल आयत का क्षेत्रफल = xy मात्रक
आयत का बढ़ा हुआ क्षेत्रफल = (xy + 2x + 3y + 6) – xy मात्रक = 2x + 3y + 6 मात्रक
परन्तु प्रश्नानुसार क्षेत्रफल 67 वर्ग मात्रक बढ़ जाता है।
2x + 3y + 6 = 67
⇒ 2x + 3y = 61 …… (2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
6x – 10y = 12 ….(3)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर,
6x + 9y = 183 ……. (4)
समीकरण (4) में से समीकरण (3) को घटाने पर,
(6x + 9y) – (6x – 10y) = 183 – 12
⇒ 19y = 171
⇒ y = 9
समीकरण (2) में y का मान रखने पर,
2x + 3(9) = 61
⇒ 2x + 27 = 61
⇒ 2x = 61 – 27 = 34
⇒ x = 17
अत: आयत की लम्बाई = 17 मात्रक तथा चौड़ाई = 9 मात्रक।

Exercise:3.6

प्रश्न 1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए-

हल (i) दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म.

 

 

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए-
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी? पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
हल
(i) माना रितु के तैरने की चाल = x km/h तथा धारा की चाल = y km/h
जब वह धारा के अनुरूप तैरेगी तो उसकी परिणामी चाल = (x + y) km/h
और जब वह धारा के प्रतिकूल तैरेगी तो उसकी परिणामी चाल = (x – y) km/h
(∵ दूरी = चाल × समय)

(∵ दूरी = चाल × समय)
प्रश्नानुसार दिया है, दूरी = 4 km
2(x – y) = 4
⇒ x – y = 2 …… (2)
अब, समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
2x = 12 ⇒ x = 6
तथा समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
2y = 8 ⇒ y = 4
अत: रितु के तैरने की चाल 6 km/h तथा धारा की चाल 4 km/h है।
(ii) माना 1 महिला किसी काम को x दिन में तथा 1 पुरुष उसे दिन में पूरा कर सकता है।

Exercise:3.6