Chapter 2 बहुपद ( Class-10,math)

Exercise:2.1

प्रश्न 1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृतियों में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल
दिया गया बहुपद = p(x)
(i) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 0 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को प्रतिच्छेदित नहीं करता।
(ii) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 1 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को केवल एक स्थान पर काटता है।
(iii) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है।
(iv) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 2 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को दो बिन्दुओं पर काटता है।
(v) बहुपंद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 4 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है।
(vi) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है।

Exercise:2.2

प्रश्न 1. निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए-
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल
(i) दिया गया बहुपद = x² – 2x – 8
= x² – (4 – 2)x – 8
= x² – 4x + 2x – 8
= (x² – 4x) + (2x – 8)
= x(x – 4) + 2 (x – 4)
= (x – 4) (x + 2)
x² – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2)
जब बहुपद x² – 2x – 8 = 0 हो तो (x – 4) (x + 2) भी शून्य होगा जिसका अर्थ है कि या तो x – 4 = 0 या फिर x + 2 = 0
यदि हो x – 4 = 0 हो तो x = 4 और यदि x + 2 = 0 हो तो x = -2
अत: बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक = 4 व -2
बहुपद x² – 2x – 8 की तुलना बहुपद ax² + bx + c से करने पर,
a = 1, b = -2 तथा c = -8
तब, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों में सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = −ba=−(−21)=2
तथा शून्यकों का गुणनफल: = ca=−81=−8
और जो शून्यक हमने ज्ञात किए थे उनका योगफल भी 2 तथा गुणनफल (-8) है।
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
Prove That

(ii) दिया गया बहुपद = 4s² – 4s + 1
= (2s)² – 2(2s) . 1 + (1)² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= (2s – 1)²
4s² – 4s + 1 = (2s – 1)²
जब बहुपद 4s² – 4s + 1 = 0 हो तो (2s – 1)² भी शून्य होगा जिसका अर्थ है कि
(2s – 1)² = 0
⇒ (2s – 1) = 0
⇒ 2s = 1
⇒ s = 12
यहाँ बहुपद के दोनों शून्यक समान हैं,
अत: बहुपद 4s² – 4s + 1 के शून्यक = 12 व 12,
बहुपद 4s² – 4s + 1 की तुलना बहुपद as² + bs + c से करने पर,
a = 4, b = -4 तथा c = 1
तब, बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = −ba=−(−44)=1
तथा शून्यकों का गुणनफल = ca=14
और जो शून्यक हमने ज्ञात किए हैं उनका भी योगफल (12+12 = 1) तथा गुणनफल (12×12= 14) है।
अत: बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
Prove That

(iii) दिया गया बहुपद = 6x² – 3 – 7x
= 6x² – 7x – 3
= 6x² – (9 – 2)x – 3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= (6x² – 9x) + (2x – 3)
= 3x(2x – 3) + 1(2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
बहुपद 6x² – 3 – 7x = (2x – 3) (3x + 1)
जब बहुपद 6x² – 3 – 7x = 0 हो तो (2x – 3) (3x + 1) भी शून्य होगा जिसका अर्थ है कि या तो 2x – 3 = 0 या फिर 3x + 1 = 0
यदि 2x – 3 = 0 हो तो 2x = 3 ⇒ x = 32
और यदि 3x + 1 = 0 हो तो 3x = -1 ⇒ x = −13
अत: बहुपद 6x² – 3 – 7x के शून्यक 32 व −13
अब, बहुपद 6x² – 3 – 7x की तुलना मानक द्विघात बहुपद ax² + bx + c से करने पर,
a = 6, b = -7 तथा c = -3
तब, बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध

अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
Prove That

(iv) दिया गया बहुपद = 4u² + 8u = 4u(u + 2)
यदि उक्त बहुपद 4u² + 8u = 0 हो तो 4u(u + 2) = 0 जिसका अर्थ है कि
4u = 0 ⇒ u = 0 या फिर u + 2 = 0 ⇒ u = -2
अत: बहुपद 4u² + 8u के शून्यक = 0 व -2
अब, बहुपद 4u² + 8u की तुलना बहुपद au² + bu + c से करने पर,
a = 4, b = 8 तथा c = 0
तब, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों में सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = −ba=−84=−2
और शून्यकों का गुणनफल ca=04=0
और हमने जो शून्यक ज्ञात किए हैं, उनका योगफल (-2 + 0) = -2 तथा गुणनफल {(-2) × 0} = 0 है
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
Prove That

(v) दिया गया बहुपद = t² – 15
जब बहुपद t² – 15 = 0 हो तो t² = 15 या t = ±√15
अत: बहुपद t² – 15 के शून्यक = +√15 व -√15
यहाँ शून्यकों का योगफल (+√15 – √15) = 0 तथा गुणनफल {√15 × (-√15)} = -15 है।
दिए गए बहुपद t² – 15 = 0 की तुलना मानक द्विघात बहुपद at² + bt + c से करने पर,
a = 1, b = 0 तथा c = -15
तब, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = −ba=−01=0
और शून्यकों का गुणनफल = ca=−151=−15
जो कि उपर्युक्त फलन से मेल खाता है।
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
Prove That

(vi) दिया गया बहुपद = 3x² – x – 4
= 3x² – (4 – 3)x – 4
= 3x² – 4x + 3x – 4
= (3x² – 4x) + (2x – 4)
= x(3x – 4) + 1(3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1)
= (3x – 4) (x + 1)
जब बहुपद 3x² – x – 4 = 0 हो तो (3x – 4) (x + 1) = 0
जिसका अर्थ है कि या तो 3x – 4 = 0 या फिर x + 1 = 0 है।
यदि 3x – 4 = 0 हो तो 3x = 4 ⇒ x = 43
और यदि x + 1 = 0 हो तो x = -1
अत: बहुपद के शून्यक = 43 व -1
अब दिए हुए बहुपद 3x² – x – 4 की तुलना मानक द्विघात बहुपद ax² + bx + c से करने पर,
a = 3, b = -1 तथा c = -4
तब, बहुपद के गुणांकों a, b, c और बहुपद के शून्यकों के बीच सम्बन्ध
शून्यकों का योगफल = −ba=−(−1)3=13
और शून्यकों का गुणनफल = ca=−43
और जो शून्यक हमने ज्ञात किए हैं उनका भी योगफल = (−1+43)=13 और गुणनफल (43×−1)=−43 है।
अत: बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं

Prove That

प्रश्न 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योगफल तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं
(i) 14, -1
(ii) √2, 13
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) −14, 14
(vi) 4, 1
हल
(i) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल 14 तथा गुणनफल -1 है।
α + β = 14 और αβ = -1
तब, द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β) x + αβ
= x² – 14 x + (-1)
= 4x2−x−44
= k(4x² – x – 4)
अत: अभीष्ट बहुपद 4x² – x – 4 या k(4x² – x – 4) है, जहाँ k = 1/4 एक वास्तविक संख्या है।

(ii) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा गुणनफल = αβ
दिया गया है कि बहुपद के शून्यकों का योगफल √2 तथा गुणनफल 1/3 है।
α + β = √2 तथा αβ = 13
तब, द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β) + αβ
= x² – √2x + 13
= 13(3x² – 3√2x + 1)
= k(3x² – 3√2x + 1)
अत: अभीष्ट बहुपद k(3x² – 3√2x + 1) है, जहाँ k = 1/3 एक वास्तविक संख्या है।

(iii) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = (α + β) और शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल 0 तथा गुणनफल √5 है।
तब, α + β = 0 तथा αβ = 15
द्विघात बहुपद = (x – α)(x – β)
= x² – (α + β)x + αβ
= x² – 0 . x + √5
= x² + √5
अतः अभीष्ट बहुपद = x² + √5

(iv) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल 1 तथा गुणनफल 1 है।
तब, α + β = 1 तथा αβ = 1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β)x + αβ
= x² – (1) . x + 1
= x² – x + 1
अतः अभीष्ट बहुपद = x² – x + 1

(v) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α व β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल −14 तथा गुणनफल 14 है।

(जहाँ k एक वास्तविक संख्या है)
अत: अभीष्ट बहुपद = 4x² + x + 1 अथवा k(4x² + x + 1) जहाँ k = 1/4 एक वास्तविक संख्या है।

(vi) माना द्विघात बहुपद के शून्यक α व β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = (α + β) तथा गुणनफल = αβ
दिया गया है कि शून्यकों का योगफल 4 तथा गुणनफल 1 है।
α + β = 4 तथा αβ = 1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x² – (α + β)x + αβ
= x² – 4x + 1
अत: अभीष्ट बहुपद = x² – 4x + 1

Exercise:2.3

प्रश्न 1. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए-
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x²
हल
(i) दिया है, p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3 तथा g(x) = x – 2
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म से,

 

(ii) दिया है, p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5
तथा g(x) = x² + 1 – x = x² – x + 1
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड़ की विभाजन एल्गोरिथ्म से,

अत: भागफल q(x) = x² + x – 3 तथा शेषफल r(x) = 8

(iii) दिया है, p(x) = x⁴ – 5x + 6 तथा g(x) = 2 – x² = -x² + 2
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म से,

अतः भागफल q(x) = -x² – 2 तथा शेषफल r(x) = -5x + 10

प्रश्न 2. पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है-
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल
(i) माना t² – 3 = g(t) तथा 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 = p(t)
यदि भागफल q(t) तथा शेषफल r(t) हो
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
p(t) = g(t) . q(t) + r(t)

शेषफल r(t) = 0 अत: t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का एक गुणनखण्ड है।

(ii) माना x² + 3x + 1 = g(x) तथा 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 = p(x)
यदि भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) हो तब यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,

 

 

 

 

 

 

शेषफल r(x) = 0
अत: x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का एक गुणनखण्ड है।

(iii) माना x³ – 3x + 1 = g (x) तथा x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 = p(x)
यदि भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) हो तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,

शेषफल r(x) = 29x – 9 ≠ 0
अत: x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 का गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 4. यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x³ – 3x² + x + 2 = p(x), भाजक = g(x)
भागफल q(x) = (x – 2) तथा शेषफल r(x) = -2x + 4
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,

प्रश्न 5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x)
(ii) घात q(x) = घात r(x)
(iii) घात r(x) = 0
हल
(i) p(x) व q(x) ऐसे चाहिए कि p(x) की घात = q(x) की घात
तब, p(x) की घात = g(x) की घात . q (x) की घात
⇒ g(x) की घात शून्य होनी चाहिए।
तब, माना p(x) = 2x³ + 5x² + 7x + 16 और q(x) = x³
g(x) = 2 तथा r(x) = 5x² + 7x + 16

(ii) घात q(x) = घात r(x)
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) की घात, g(x) की घात व q(x) की घात के योग के बराबर होना चाहिए।
माना q(x) = ax + b
तथा g(x) = cx² + dx + e
तब, p(x) घात 3 का व्यंजक होना चाहिए।
p(x) = x³ + x² + x + 1 तथा g(x) = x² – 1

⇒ q(x) = (x + 1) तथा r(x) = 2x + 2
अत: p(x) = x³ + x² + x + 1, q(x) = (x + 1), g(x) = x² – 1 तथा r(x) = 2x + 2

(iii) घात r(x) = 0
माना p(x) = x³ + 2 तथा g(x) = x² – x + 1
x³ + 2 में x² – x + 1 से भाग देने पर,
q(x) = (x + 1) तथा r(x) = 1
अत: p(x) = x³ + 2, q(x) = (x + 1), g(x) = x² – x + 1 तथा r(x) = 1

 

Exercise 2.4

(ii) दिया है, त्रिघात बहुपद p(x) = x³ – 4x² + 5x – 2 ……..(1)
दी गई संख्याएँ : 2, 1, 1
समीकरण (1) में x = 2 रखने पर,
तब, p(2) = (2)³ – 4(2)² + 5(2) – 2
= 8 – 4 × 4 + 10 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2
= 0
2, बहुपद p (x) का एक शून्यक है।
पुनः समीकरण (1) में x = 1 रखने पर,
p(1) = (1)³ – 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2
= 0
1, बहुपद p(x) का एक शून्यक है।
तब, स्पष्ट है कि 2, 1, 1 बहुपद = x³ – 4x² + 5x – 2 के शून्यक हैं।
इन शून्यकों का योगफल = 2 + 1 + 1 = 4 तथा गुणनफल 2 × 1 × 1 = 2
दो-दो करके गुणनफलों का योगफल = (2 × 1) + (1 × 1) + (1 × 2) = 5
अब, बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 के पदों के गुणांक a = 1, b = -4, c = 5 तथा d = -2
यदि शून्यक α, β व γ हों तो

प्रश्न 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योगफल तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
हल
माना बहुपद के शून्यक α, β व γ हैं।
तब, प्रश्नानुसार शून्यकों का योगफल (α + β + γ) = 2
दो शून्यकों को एक साथ लेकर उसके गुणनफलों का योगफल (αβ + βγ + γα) = -7
शून्यकों का गुणनफल (αβγ) = -14
यदि शून्यक α, β व γ हों तो त्रिघात बहुपद
= x³  (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x αβγ
= x³ – 2x² + (-7)x – (-14)
= x³ – 2x² – 7x + 14
अत: अभीष्ट बहुपद = x³ – 2x² – 7x + 14

a = 1 रखने पर,
1(1 – b²) = -1
⇒ 1 – b² = -1
⇒ b² = 2
⇒ b = ±√2
a = 1 और b = ±√2

प्रश्न 4. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
चूँकि बहुपद 4 घात का है; अत: इसमें अधिकतम चार शून्यक सम्भव हैं जिनमें दो शून्यक 2 + √3 व 2 – √3 ज्ञात हैं।
माना शेष दो शून्यक α व β हैं।
तब, (x – α) (x – β) (x – 2 – √3) (x – 2 + √3) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) [(x – 2)² – (√3)²] = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) (x² – 4x + 4 – 3) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x – α) (x – β) (x² – 4x + 1) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35

(x – α) (x – β)
= x² – 2x – 35
= x² – (7 – 5)x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) + 5(x – 7)
= (x – 7) (x + 5)
⇒ (x – α) (x – β) = (x – 7) (x + 5)
α = 7 तथा β = -5
अतः दिए गए बहुपद के दो अन्य शून्यक 7, -5 हैं।

प्रश्न 5. यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल
माना भाज्य बहुपद p(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
भाजक बहुपद g(x) = x² – 2x + k तथा शेषफल r(x) = x + a है।
पुनः माना भागफल बहुपद q(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
g (x) . q (x) + r(x) = p (x)
⇒ (x² – 2x + k) + (x + a) q (x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
⇒ (x² – 2x + k) q(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 – x – a
⇒ (x² – 2x + k) q(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 26x + (10 – a)